VERBALE N. 13 11 / 04/ 2000

Quale tipo di legame matematico esiste tra la temperatura T* di equilibrio di una miscela formata da due quantità, una multipla dell’altra, della stessa sostanza e le temperatureT1 e T2 delle singole quantità?

In classe abbiamo verificato con il calcolo che il legame matematico:

T* = (T1 + T2) : 2

individuato tra T*, T1 e T2 nel caso di una miscela ottenuta con quantità uguali di acqua non è più valido nel caso in cui le quantità miscelate sono diverse, ad esempio una multipla dell’altra.

Per individuare il legame matematico esistente tra la temperatura T* di equilibrio di una miscela formata da due quantità, una multipla dell’altra, della stessa sostanza e le temperature T1 e T2 delle singole quantità l’insegnante ci ha guidato in questo ragionamento.

Se noi abbiamo una miscela costituita da quantità uguali della stessa sostanza, nel caso specifico acqua, aventi temperature T1 e T2 diverse, con T2 > T1, noi sappiamo calcolare la temperatura T* di equilibrio.
Supponiamo di ottenere miscele (figura 1 della pagina successiva) costituite sempre dalle stesse quantità dove, però, viene fatta rimanere costante la temperatura T1 di una quantità e fatta variare la temperatura T2 dell’altra quantità. La temperatura T* di equilibrio della miscela, come si verifica con il calcolo, risentirà di tale variazione variando in tal senso.
Concludiamo quindi che la temperatura T* di equilibrio di una miscela formata da quantità uguali della stessa sostanza è influenzata dalle temperature T1 e T2 delle quantità miscelate.

Abbiamo verificato inoltre che la temperatura T* di equilibrio di una miscela è influenzata anche dalle quantità che vengono miscelate e ciò può essere schematizzato nel modo seguente:

Concludiamo che , rimanendo costanti le temperature T1 e T2 delle quantità che vengono miscelate, se manteniamo costante la quantità di acqua avente temperatura T1 ed aumentiamo progressivamente quella avente temperatura T2, la temperatura T* di equilibrio avrà valori progressivamente più vicini a T2; viceversa, se manteniamo costante la quantità di acqua avente temperatura T2 ed aumentiamo progressivamente quella avente temperatura T1, la temperatura T* di equilibrio avrà valori progressivamente più vicini a T1.

Concludiamo che la temperatura T* di equilibrio di una miscela è influenzata sia dalle temperature T1 e T2 delle quantità miscelate che dalle quantità stesse.

Ripercorriamo, sempre con la guida dell’insegnante, le fasi dell’esperimento.

Inizialmente abbiamo due becher uguali: becher 1 e becher 2.

Nel becher 1 sono stati versati 200 ml di acqua fredda avente una temperatura T1 uguale a quella ambiente (ad esempio 20°C); nel becher 2 sono stati versati 100 ml di acqua la cui temperatura, mediante somministrazione di una certa quantità di calore, è stata portata ad un valore T2 (ad esempio 60°C).

L’insegnante ricorre ad una rappresentazione schematica dell’esperimento svolto, visualizzando la situazione nei due becher nel modo seguente. 

In particolare nel becher 1 i 200 ml di acqua possono essere pensati come due quantità uguali, ognuna di 100 ml, stratificate una sopra l’altra : ognuna possiede la stessa quantità di calore Q1 e la stessa temperatura T1 (infatti, in qualsiasi punto immergo il termometro, si registra sempre una temperatura di 20°C).

Quindi il contenuto del becher 1 viene versato nel becher 2. 

In questo caso la miscela è formata da due quantità di acqua, una doppia dell’altra.

Come appare dalla schematizzazione possiamo "pensare" la miscela come costituita da tre quantità uguali, ognuna pari a 100 ml di acqua.

Per calcolare la temperatura T* di equilibrio di una miscela formata da due quantità uguali di acqua aventi temperature T1 e T2 diverse ci siamo avvalsi dell’esempio di due bambine gemelle che, possedendone inizialmente un numero diverso, le mettono in unico contenitore per poterle poi dividerle in ugual misura fra di loro in modo da raggiungere un "equilibrio" nella distribuzione delle caramelle.

Per calcolare allora la temperatura T* di equilibrio di una miscela formata da due quantità di acqua, una doppia dell’altra, aventi temperature T1 e T2 diverse ci si può avvalere, in questo caso, di un ragionamento analogo dove ci sono tre bambine gemelle di cui due possiedono lo stesso numero di caramelle, ad esempio 2 ciascuna, ed una ne possiede invece 8.

Per far sì che tutte e tre le bambine possiedano lo stesso numero di caramelle si può pensare ad un flusso graduale: dapprima la bambina che ne possiede in quantità maggiore regala una caramella ad ognuna delle bambine che ne possiede in quantità minore con il risultato che la prima rimane con sei caramelle e le altre due ne vengono ad tre; successivamente, ripetendo ciò un’altra volta, ogni bambina viene ad avere quattro caramelle, le quali risultano quindi distribuite equamente. Posso giungere allo stesso risultato pensando di mettere le caramelle possedute da tutte e tre le bambine in un unico contenitore, di contarle e di dividere il totale per il numero di bambine:

(n.° caramelle 1° bambina + n.° caramelle  2° bambina + n.° caramelle 3° bambina)/n° bambine

 

Analogamente all’interno del becher 2 si hanno tre quantità uguali di acqua; quella che occupa il primo strato ha una temperatura T2 , quelle che occupano il secondo e terzo strato hanno ognuna una uguale temperatura T1; T2 è maggiore di T1. 

Quando due corpi, uno caldo ed uno freddo, vengono posti a contatto, il calore passa dal corpo più caldo a quello più freddo con diminuzione della temperatura del corpo caldo ed aumento di quella del corpo freddo fino a quando i due corpi non raggiungono la stessa temperatura, che viene chiamata temperatura di equilibrio in quanto misurata nell’istante in cui viene raggiunto l’equilibrio termico.

Nel caso specifico si avrà un passaggio di calore dai 100 ml che si trovano a temperatura T2

ad ognuno dei 100 ml che si trovano a temperatura T1 fino a quando ognuna delle quantità uguali di acqua avrà la stessa temperatura T*,maggiore di t1 e minore di T2.

La temperatura T* di ognuno dei 100 ml presenti nel becher 2, cioè la temperatura T* di equilibrio della miscela sarà uguale a:

T* = (T2 + T1 + T1)/3 = (T2 + 2 T1)/3

dove:

con T2 si indica la temperatura dei 100 ml che occupano il primo strato,
con T1 scritto per primo si indica la temperatura dei 100 ml che occupano il secondo strato;
con T1 scritto per secondo si indica la temperatura dei 100 ml che occupano il terzo strato,
con il numero 3 scritto al denominatore si indica il numero totale di 100 ml presenti nel becher 2.

Fatto tutto questo ragionamento andiamo a verificare con i dati sperimentali a nostra disposizione se il legame matematico individuato è corretto.

Nadia Sebastiani